從中國古代數學 到現代數學課堂
周令軒 福建中學（小西灣）數學科教師及科主任
引言
隨着教育局推動國民教育，許多數學教師將中國古代數學的內容融入課程，旨在提升學生對中華文化的認同感，並幫助他們理解數學的歷史發展脈絡。然而， 若直接將《九章算術》或《周髀算經》的原文題目引入課堂，學生可能會因文言文的艱澀或古代數學術語的陌生而感到困難，甚至誤以為這些內容只是歷史上的「古董」，與現代數學無關。如何跨越時代的障礙，有效地介紹古代數學知識，讓學生從認識到了解，從了解到欣賞，進而將這些知識轉化為啟發思維的學習素材，確實是一個值得深入探討的問題。
選材得宜，無縫引入
古代數學與現代中學數學課程是否有交集？答案無疑是肯定的。當今中學數學課程中的內容，正是古今中外數學家智慧的結晶。課堂中學生探討的數學問題，許多也曾被古代數學家思考過。筆者認為，只要選材得當， 中國古代數學課題能為課堂增添不少亮點。
以中三「面積和體積」單元為例，其中一條定理指出：在底面積和高相同的情況下，角錐（Pyramid）的體積為角柱（Prism）體積的三分之一。然而，許多教科書以「證明超出課程範圍」為由，並未解釋這條定理的由來（類似情況也見於圓錐體體積、球體體積和表面積公式的介紹，往往僅要求學生「死記硬背」）。這種只學公式而不明其理的教學方式，顯然並非理想的數學教育。
周令軒老師透過Geogebra 互動軟件，向學生講解劉徽計算三角錐體積的方法
在數學史的浩瀚寶庫中，筆者發現魏晉時期數學大師劉徽於《九章算術注》中，早已為此定理提供了一個清晰而簡潔的證明！這個證明過程完全在初中學生的理解能力範圍內，主要障礙僅在於文言文的表達方式和古代數學術語的差異。為克服這些困難，教師可將古文翻譯成現代白話文，並結合互動幾何學習軟件（如Geogebra），讓學生透過圖像觀察和問題引導，重現劉徽在兩千多年前提出的證明過程。以下是根據劉徽原始證明簡化設計的教學流程，旨在幫助學生更容易理解（以下圖示取自柯志明老師的Geogebra 教學程式，經授權使用，特此致謝！詳細內容請參閱：https://www. geogebra.org/m/cHSwunj7#material/tf6CRGE6）。
1. 切割三角柱體：將三角柱體（塹堵）斜切，得到兩個立體——三角錐體（鱉臑，紅色）和四角錐體（陽馬，黃色）。
2. 比較體積比例：引導學生分組討論，透過簡單切割找出紅色與黃色部分的體積比例（答案：1:2）。
3. 重複以上過程：引導學生分組討論，透過簡單切割找出紅色與黃色部分的體積比例（答案：1:2）。
4. 重複過程：不斷重複切割，直到填滿空白部分。
5. 得出結論：三角錐體體積與四角錐體體積的比例為1:2，因此三角錐體體積與三角柱體體積的比例為1:3。
本節課的學習重點有二：
1. 透過劉徽的證明，讓學生理解「角錐體積為角柱體積三分之一」的定理（並進一步推廣至所有角錐與角柱的關係，因任何角柱均可通過有窮盡切割為若干三角柱）。
2. 欣賞中國古代數學家在證明方法上的獨創性與嚴謹性。
中西合璧，互相輝映
過去曾觀摩同儕的課堂，發現有些教師在講解數學定理時，會特別強調該定理在中國比西方早千年發現。雖然其動機良善，旨在讓學生感受祖國先賢的數學成就，但這種表述方式在數學教育上未必妥當。這種教學容易讓學生誤以為數學僅追求計算速度與優先權，而忽略定理背後的觀察、理解與創新思維，反而對數學學習弊大於利。
從教育角度而言，若以「最先算出答案」為成功標準，班級中30位學生僅有1位能達成，無形中暗示其餘29位學生為「失敗者」。此外，數學證明的意義不僅在於驗證定理的正確性，更能幫助我們深入理解定理的「底蘊」。證明本身就是定理的一部分，具有豐富的內涵（可參閱蕭文強教授《數學證明》一書）。
筆者認為，若某一定理在中國與西方均曾被獨立發現，教師不妨同時介紹兩種方法，並引導學生比較其優點，汲取古人的智慧。這不僅能培養學生的邏輯思維，還能讓他們體會數學的多元性——定理可以有多種表述，問題可以有多種解法。每種方法各有所長，透過分析比較，學生能強化對數學問題的理解力，同時在建立文化認同的過程中，拓展國際視野，為國家培養具備精密邏輯思維的數理人才，可謂一舉三得！以下舉一例說明：
已知三角形的三邊長（如13 cm、14 cm、15 cm），如何求其面積？在高中課堂中，教師通常會教授「阿基米德-希倫公式」（Archimedes-Heron Formula）1來解決此問題：
教師可讓學生分別用兩種公式計算同一題目，驗證結果是否一致，並進一步討論：
1. 兩公式各有何優點？
2. 兩公式是否等價？如何證明？
在討論中，學生會發現「阿基米德-希倫公式」形式對稱、易於記憶，但在計算含平方根的邊長，如三角形邊長為和，以根式表示其面積，學生會發現如果使用「阿基米德-希倫公式」，計算過程會相當繁瑣；但「三斜求積法」非常方便！
由此可見，計算含平方根的邊長時，「三斜求積法」更為高效。兩者各有千秋，適用於不同情境。
至於第二條問題——兩條公式的等價性證明，筆者建議可作為課後延伸思考題，或安排給M2課程中代數能力較強的學生探究。由於證明過程涉及較繁瑣的代數運算，對一般學生而言可能有一些難度。若教師希望引導全班學生理解這個概念，可精心設計分步驟的工作紙，將證明過程拆解為若干關鍵環節，循序漸進地帶領學生完成推導。不過，本文暫不詳細展開證明過程。
透過現代3D打印技術，我們重現了魏晉數學家劉徽設計的「牟合方蓋」。周令軒老師正為學生們講解這個立體模型，讓學生親手觸摸，感受穿越時光的數學智慧。
透過這樣的教學設計，學生不僅能更熟練地運用「阿基米德-希倫公式」，更重要的是，他們將學會觀察公式的核心特徵，分析不同公式的優勢，並根據具體問題選擇最有效的解題策略。這種強調理解與分析的學習過程，遠比單純「硬套」公式更有意義，能實質提升學生的數學思維能力和解難能力，對他們的數學學習大有裨益！
結論：建立跨時代的數學視野
將中國古代數學融入現代課堂，不僅是文化傳承，更能提升數學學習的效能與品質。透過中西數學的比較，學生能更全面地認識數學的本質——它既是嚴謹的科學，也是實用的工具。
未來的數學教育應更注重引導學生思考背後的邏輯，而非僅記憶公式。同時，透過比較不同文化的數學成果，學生能學會欣賞數學的多樣性，靈活運用不同思想解決問題。唯有如此，中國古代數學才能真正成為啟發現代學生的寶貴資源，而非僅是教科書上的一段歷史記載。
註
1. 此公式多被稱為「希倫公式」（Heron's Formula），但數學史家分析此公式很有可能源自阿基米德 (Archimedes of Syracuse) ，故稱「阿基米德-希倫公式」（Archimedes-Heron Formula）更為恰當。
